MMXXIII ANNO DOMINE

SEGUNDO SEMESTRE

CÁLCULO IV (Matemática Diurno) Turma T2

Estudaremos nesta disciplina a continuação natural do cálculo de funções a várias variáveis, iniciado no Cálculo III. Mais precisamente, estudaremos o Cálculo integral à várias variáveis, incluindo a parte vetorial a várias variáveis.

Plano de Ensino – P0de ser baixada uma cópia do arquivo pdf do plano acessando aqui.

 

Datas das Provas

Prova 01 – 07/02/2024 – Gabarito

Prova 02 – 15/03/2024

Exame – 20/03/2024

 

Listas de Exercícios

Lista 01 – Integrais múltiplas, primeiros conceitos

Lista 02 – Integrais duplas

Lista 03 – Integrais impróprias. Integrais triplas

Lista 04 – Mudança de coordenadas em integrais triplas. Campos vetoriais.

Lista 05 – Integrais de linha. Teorema de Green.

Lista 06 – Teoremas de Green, da divergência e de Stokes no plano. Extra: superfícies no R3.

 

Extras

• Algumas resoluções da lista 01, feitas via webconf, no dia 22/12/23, acesso aqui. Para acessar o vídeo clique aqui.
• Resolução de questões da Lista 02, acesso aqui

 

Arquivos pdf das aulas

Abaixo apresentamos uma lista dos arquivos pdf produzidos em sala de aula.

Aula 01– (25/10/23) – Apresentação da disciplina. Blocos em Rm. Partição de um bloco. Funções limitadas em um bloco. Somas inferior e superior de uma função em um bloco, em relação a uma partição. Refinamento. Propriedades das somas inferior e superior.

Aula 02– (27/10/23) – A integral superior e a integral inferior de uma função limitada em um bloco do Rm. A integral definida. Critério de integrabilidade. Um exemplo de cálculo de integral definida pela definição.

Aula 03  – (01/11/23) – Outros exemplos de cálculo de integral definida pela definição. Oscilação de uma função limitada em um conjunto. Propriedades da integral definida em um bloco.

Aula 04 – (08/11/23) – Conjuntos de medida nula. A função característica de conjuntos J-mensuráveis. Teorema de Lebesgue. A integral em conjuntos J- mensuráveis. Propriedades da integral.

Aula 05 – (10/11/23) – Integral de Riemann. Integrais duplas e a integração em um retângulo via integrais iteradas.

Aula 06 – (17/11/23) – Integrais duplas em regiões mais gerais.

Aula 07 –  (29/11/23) – Outros exemplos. Teorema da média. [pdf do semestre anterior]

Aula 08 – (01/12/23) – Integrais duplas em coordenadas polares.

Aula 09 – (06/12/23)  – Mudança de variáveis em integrais duplas.

Aula 10  – (08/12/23) – Integrais impróprias .

Aula 11  – (13/12/23) – Integrais triplas.

Aula 12  – (15/12/23) – Aula de exercícios, sobre listas 03 e 02.

Aula 13 – (31/01/24) – Aula de exercícios, sobre a lista 03.

Aula 14  – (09/02/24) – Mudança geral de variáveis no R3. Sistema de coordenadas cilíndricas.

Aula 15  – (16/02/24) – Um exemplo de uso de coordenadas cilíndricas. Sistema de coordenadas esféricas. Integrais no sistema esférico.

Aula 16 – (21/02/24) – Cálculo vetorial integral: Campos vetoriais. Campos gradientes e função potencial. Divergência e rotacional de um campo vetorial.

Aula 17 – (23/02/24) – Notações do divergente e do rotacional via operadores. Integral de linha: conceito e exemplos.

Aula 18 – (28/02/24) – Orientação de um caminho. Independência da parametrização na integral de linha.

Aula 19  – (01/03/24) –  Extensão vetorial do TFC. Caminhos fechados simples e não simples. O teorema de Green.

Aula 20  –  (06/03/24) – Parametrização pelo comprimento de arco. Primeira extensão vetorial do Teorema de Green: o teorema da divergência de Gauss.

Aula 21 – (08/03/24) – Segunda extensão vetorial do Teorema de Green: o Teorema de Stokes.

Aula 22  – (13/04/24) – Aula de exercícios.

Aula 23 – (14/04/24) – aula extra de exercícios.

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CÁLCULO 1  – Turma T4

 Nesta disciplina serão tratados estudos de Cálculo diferencial a uma variável real, contemplando uma revisão e aprofundamento do estudo de funções, estudo de limites e continuidade e, finalmente, o estudo de derivadas e diferenciais, em especial várias aplicações que podem ser dadas num primeiro curso de Cálculo.

 

Plano de ensino – Uma cópia pdf pode ser ser baixada clicando aqui.

 

Datas das Provas

Prova 01:  28/11/2023 – Gabarito

Prova 02: 08/02/2024 – Gabarito

Prova 03: 14/03/2024 – Gabarito

Prova Optativa: 19/03/2024

Exame: 21/03/24

 

Listas de Exercícios

Lista 01 – Conjuntos e funções

Lista 02 – Noções de Trigonometria

Lista 03 –  Funções Trigonométricas. Limites de funções

Lista 04 – Limites notáveis

Lista 05 – Funções contínuas

Lista 06 – Derivadas (primeiros conceitos)

Lista 07 – Significado físico da derivada. Derivadas laterais. Regras de derivação.

Lista 08 – Derivadas, derivação de funções implícitas e definidas parametricamente. Regra da cadeia.

Lista 09 – Taxas relacionadas.

 Lista 10 – Teoremas de Rolle e Lagrange. Problemas de máximos e mínimos.

Lista 11 – Diferenciais.

 

Extras

• Resolução de exercícios da lista 01, feitos em atendimento online no dia 16/11/23, acesso aqui.
• Resolução de exercícios das listas 01 e 02, feitos no atendimento do dia 24/11/23. Acesso aqui.
• Resolução de algumas questões das listas 03 e 04, feitas dia 21/12/23, acesso aqui.
• Resolução de questões da Lista 04, acesso aqui
• Resolução de questões da Lista 09, acesso aqui

 

Arquivos pdf das aulas

Abaixo temos uma lista dos arquivos pdf produzidos na sala de aula.

Aula 01 – Apresentação da disciplina. Conjuntos e operações. Conjuntos numéricos. Os reais como um corpo ordenado. Axiomas dos números reais. Relação de ordem em R. Intervalos em R.

Aula 02 – Propriedades da relação de ordem. Desigualdades e inequações. Módulo de um número real e propriedades

Aula 03 – Um exercício explorando desigualdade modular. Função. Definição e exemplos. Domínio de função. Funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva.

Aula 04 – Composição de funções. Funções crescentes e decrescentes. Funções afim, quadrática e modular.

Aula 05 – Mais um exemplo de função modular. Estudo da função exponencial. Estudo de logaritmos.

Aula 06 – Um exercício envolvendo exponenciais e logaritmos. Função logarítmica. Elementos da trigonometria: arcos e ângulos. Ciclo trigonométrico. Arcos côngruos e expressão geral. Trigonometria no triângulo retângulo. Relação fundamental.

Aula 07  – Números trigonométricos no ciclo. Arcos notáveis. Fórmulas da adição e subtração de arcos. Fórmulas de transformação de soma em produto.

Aula 08 – [Remoto] Fórmulas dos arcos duplos e arcos metade da trigonometria. Vídeo pode ser acessado clicando aqui

Aula 09 – Funções trigonométricas diretas.

Aula 10 – Limites de funções. Noção intuitiva e definição formal. Indeterminação da forma 0/0. Limites de funções racionais e irracionais.

Aula 11 – Unicidade do limite. Propriedades aritméticas dos limites. Limite da função composta. Limites no infinito.

Aula 12  – Limites laterais. Limites infinitos. O teorema do Sanduíche. Aplicação de avaliação.

Aula 13 – Limites notáveis: limite trigonométrico fundamental e limite exponencial fundamental.

Aula 14 – Funções contínuas. Funções contínuas em intervalos: teorema do valor intermediário e teorema do valor extremo.

Aula 15 – Conceito de derivada. Exemplos. Significado geométrico da derivada.

Aula 16 – Aula de exercícios, sobre as listas 05 e 06.

Aula 17 – Significado físico da derivada. Derivadas laterais. Primeiras regras de derivação.

Aula 18 – Outras regras de derivação.

Aula 19 – Regras de derivação. A derivada como uma aproximação linear e o diferencial de uma função. Regra da cadeia.

Aula 20 – Aplicação do uso da regra da cadeia. Funções inversíveis. Funções trigonométricas inversas. Derivada de funções trigonométricas inversas. Derivadas de funções definidas parametricamente e implicitamente.

Aula 21 – Taxas relacionadas.

Aula 22  – Extremos relativos e absolutos. Pontos críticos. Teoremas de Rolle e de Lagrange.

Aula 23 – Problemas envolvendo máximos e mínimos. Concavidade e ponto de inflexão. Diferenciais e aproximação via diferenciais.

Aula 24 – Aula de exercícios. Resolução de questões das listas 08 e 10.

Aula 25  – Aula de exercícios.

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CÁLCULO 2 – Turma T2

Dando continuidade ao estudo de Cálculo de funções de uma variável real estudaremos neste segundo curso de Cálculo o conceito de integral definida e o processo inverso à derivação, chamado de antiderivação, ou integração indefinida. O importante Teorema Fundamental do Cálculo, que faz a conexão entre este Cálculo e o anterior será estudado. Daremos ênfase a algumas aplicações da integral definida. Por fim, estudaremos sequências e séries numéricas e de funções, encerrando, assim, o Cálculo a uma variável real.

Plano de ensino – Para baixar uma cópia pdf do plano, clique aqui.

Datas das Provas

Prova 01  :  28/11/2023 – Gabarito

Prova 02: 08/02/2024 – Gabarito

Prova 03: 14/03/2024 – Gabarito

Prova Optativa: 19/03/2024

Exame: 21/03/24

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Integral definida – primeiros conceitos.

Lista 02 –  O Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais imediatas.

Lista 03 – Constante de integração. Integrais imediatas, parte II.

Lista 04 – Integração por partes. Integração por substituição trigonométrica.

Lista 05 –  Integrais de funções racionais e irracionais. Decomposição em frações parciais.

Lista 06 –  Aplicações da integral indefinida

Lista 07 – Integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Integrais de funções racionais de seno e cosseno.

Lista 08 – Integrais impróprias

Lista 09 – Aplicações da integral definida: áreas e volumes

Lista 10 – Cálculo de comprimento de arco.

Lista 11 – Sequências e séries numéricas.

 

EXTRAS

• Algumas resoluções da Lista 01, aqui.
• Cálculo online de integrais, acesso aqui.
• Algumas resoluções das listas 02 e 03, feitas dia 22/11/23, podem ser acessadas aqui.
• Mais algumas resoluções feitas dia 27/11/23, podem ser baixadas aqui.
• Algumas resoluções da Lista 04, feito em atendimento online do dia 18/12/23, acesso aqui.
• Resolução de questões da Lista 05, acesso aqui

Vídeos curtos

• Lista 03 – questão 06(k)
• Lista 03 – questão 06(l)
• Lista 03 – questão 06(m)

 

Arquivos pdf das aulas

Abaixo descrevemos uma lista dos arquivos das aulas

Aula 01 – Apresentação do curso. ínfimo e supremo de um conjunto. Funções limitadas. Participação de um intervalo. Refinamento de uma participação. Somas inferior e superior e propriedades.  Integral inferior e superior.

Aula 02 – A integral definida. Critério de Darboux de integrabilidade.

Aula 03  – Cálculo de integrais definidas pela definição. Propriedades da integral definida.

Aula 04  – Função de Lipschitz. Função definida por uma integral definida. O TFC no primeiro formato.

Aula 05 – O TFC no segundo formato. Exemplos. Lemas básicos. O processo de antidiferenciação.

Aula 06– Primeiras regras de integração indefinida. Integrais imediatas e mudança de variável.

Aula 07 – Outras regras de integração indefinida, incluindo algumas com substituição trigonométrica.

Aula 08 – Integração por partes. Integrais por substituição trigonométrica.

Aula 09 – Integrais da forma (mx + n)/(axˆ2+bx+c) e da forma (m x + n)/sqrt(axˆ2+bx+c).

Aula 10 – Técnica  de integração por decomposição em frações parciais: casos 01 e 02.

Aula 11 – Casos 03 e 04 da decomposição em frações parciais. Aplicação de uma avaliação.

Aula 12 – Aplicações da integral indefinida.

Aula 13 – Integrais de potências de seno e cosseno,

Aula 14  – Integrais de funções racionais R(sen x, cos x).

Aula 15  – Aula de exercícios.

Aula 16  – Integrais improprias de primeira espécie e de segunda espécie.

Aula 17  – Aplicações da integral definida: áreas.

Aula 18 – Volumes de sólidos de revolução via integração – método do disco.

Aula 19 – Volumes de sólidos de revolução pelo método do invólucro cilíndrico. Cálculo do comprimento de uma curva.

Aula 20 – Um exemplo de cálculo de comprimento de arco. Sequências numéricas: conceito. Sequências monótonas e limitadas. Limite de sequência.

Aula 21 – propriedades dos limites de sequências. Séries numéricas: conceito. Sequência das somas parciais. Termo geral e propriedade do limite do termo geral.

Aula 22 – Série harmônica. Série geométrica.Propriedades aritméticas das séries convergentes. Testes da comparação, comparação com limite, da razão e da raiz. Série absolutamente convergente.

Aula 23 – Aula de exercícios, onde resolvemos questões da Lista 09.

Aula 24 – Aula de exercícios.

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SEMESTER PRIMVS

Cálculo III ( para a Matemática)

Vamos estudar nesta disciplina os conceitos e resultados sobre sequências e séries, numéricas e de funções, bem como suas propriedades para decidir convergência ou divergência. Estudaremos também o cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais, percorrendo tópicos de limite, continuidade, noções topológicas do Rⁿ e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Plano de ensino

O arquivo pdf do plano de ensino pode ser acessado clicando aqui.

Horário

Quartas e sextas, na Sala 08, do prédio Aulário 1, a partir das 8h.

Datas das provas

Prova 01 : dia 28/07/23

Prova 02: dia 27/09/23 Gabarito

Exame: dia 04/10/23

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Sequências numéricas

Lista 02 – Séries numéricas

Lista 03  – Sequências e séries de funções. Série de Taylor

Lista 04 – Noções de Topologia

Lista 05 – Funções de várias variáveis reais

Lista 06 – Limite e continuidade de funções a várias variáveis reais.

Lista 07 – Derivadas de funções vetoriais. Comprimento de arco

Lista 08 – Derivação parcial

Lista 09 – Diferenciais. Regra da cadeia. Derivada direcional.

 

Outros materiais, et cetera.

• Vídeo onde analisamos a convergência/divergência de algumas séries numéricas. Acesso aqui.
• Resolução de questões da lista 05, feitas no dia 02/09, acesso aqui
• Apontamentos sobre a aula 22, apresentado em 12/09/23, acesso aqui

 

Extras

Arquivos pdf produzidos na sala de aula (a aula 01 não tem pois foi escrita no quadro e não no tablet) 

Aula 01 – Apresentação do curso. Sequências numéricas: definição. Subsequências. Conceito de limite de sequência. Sequências limitadas.	Aula 02 – Sequências monótonas e limitadas e propriedades aritméticas das sequências. (16/06/23)	Aula 03 – Dinâmica das convergências. (21/06/23)
Aula 04 – Séries numéricas: definição. Propriedades aritméticas. A série harmônica. (23/06/23)	Aula 05 – Série geométrica. Teste da comparação. Teste da comparação do limite. (28/06/23)	Aula 06 – Teste da razão. Teste da raiz. (30/06/23)
Aula 07 – Teste da integral. Séries absolutamente e condicionalmente convergentes. Séries alternadas. Teste de Leibniz para séries alternadas. Testes da razão e da raiz para séries alternadas. (05/07/23)	Aula 08 – Sequências de funções. Limite de sequências de funções (convergência simples). Séries de funções. Séries de potências: conceito, raio de convergência e intervalo de convergência. (07/07/23)	Aula 09 – Representação de funções em séries de potências. Derivação e integração de séries de potências. (12/07/23)
Aula 10  – Série de Taylor. Produto de séries de potências. (19/07/23)	Aula 11 – Existência da representação de uma função em série de Taylor. Série binomial. (21/07/23)	Aula 12– Aula de exercícios.
Aula 13  – Noções de topologia: espaços métricos. Bolas abertas e fechadas. Ponto interior e abertos em um espaço métrico.	Aula 14– Pontos aderentes de um conjunto. Fecho de um conjunto. Conjuntos fechados em um espaço métrico. Fronteira de um conjunto. Ponto de acumulação de um conjunto (09/08/23)	Aula 15 – Funções de várias variáveis reais: conceito e exemplos. (11/08/23)
Aula 16  – Outros exemplos de funções a várias variáveis. Definição de limite de função. Exemplos. (16/08/23)	Aula 17 – Unicidade do limite. Existência de limites(limites por caminhos) (18/08/23)	Aula 18– Teorema do Sanduíche. Continuidade de funções de várias variáveis . Teorema de Weierstrass. (23/08/23)
Aula 19 –  Derivadas de funções vetoriais. Derivadas parciais de funções de várias variáveis. Significados geométricos das derivadas. (30/08/23)	Aula 20 – derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz. Diferenciabilidade no Rm – introdução (01/09/23)	Aula 21– Diferenciabilidade em Rm. Matriz Jacobiana. (06/09/23)
Aula 22 – Incrementos. Difererenciabilidade via incrementos. Diferencial total. Regra da Cadeia, parte I (11/09/23)	Aula 23  – Regra da Cadeia, parte II (13/09/23)	Aula 24  – Derivada direcional e o vetor gradiente. Plano tangente à uma superfície. (15/09/23)
Aula 25  – comprimento de uma curva em R3. Resolução de exercícios de listas. (22/09/23)	Aula 26– Aula de exercícios (extra) (25/09/23)

 

 

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Cálculo IV ( para a Matemática)

Estudaremos nesta disciplina a continuação natural do cálculo de funções a várias variáveis, iniciado no Cálculo III. Mais precisamente, estudaremos o Cálculo integral à várias variáveis, incluindo a parte vetorial a várias variáveis.

Plano de ensino

Para baixardes uma cópia pdf do Plano de Ensino, clicai aqui.

Horário

Quartas e sextas, na Sala 08, do prédio Aulário 1, a partir das 10h.

 

Datas das provas

Prova 01 : dia 28/07/23. Gabarito

Prova 02: dia 27/09/23. Gabarito

Exame: dia 04/10/23

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Integrais múltiplas, primeiros conceitos.	Resoluções
Lista 02 – Integrais duplas.	Resoluções
Lista 03 – Integrais impróprias. Integrais triplas
Lista 04 – Mudança de coordenadas em integrais triplas. Campos vetoriais.
Lista 05 – Integrais de linha. Teorema de Green.
Lista 06 – Teoremas de Green, da divergência e de Stokes no plano. Superfícies no R3.
Lista 07 – Áreas de superfícies do R3. Integrais de superfície.

Extras

Arquivos pdf das aulas que estão em andamento podem ser baixados a seguir:

Aula 01 – Blocos em Rm. Partição de um bloco. Somas superior e inferior de uma função limitada em relação a uma partição P. Refinamento de uma partição. Lemas básicos.  Integrais superior e inferior de uma função limitada em um bloco do Rm. Função integrável em um bloco.	Aula 02 – Critério de integrabilidade em um bloco do Rm. Exemplos de cálculo de integrais múltiplas em um bloco, pela definição. Oscilação de uma função em um conjunto do Rm	Aula 03 – Propriedades das integrais em um bloco. Conjunto de medida nula, Teorema de Lebesgue. Função característica e conjuntos J-mensuráveis.
Aula 04 – Integral em conjuntos J-mensuráveis. Propriedades das integrais em conjuntos J-mensuráveis. Integral de Riemann.	Aula 05 – Integrais duplas. Integral iterada. Exemplos.	Aula 06 – vários exemplos de aplicações de cálculo, envolvendo mudança de ordem de integração.
Aula 07 – Outros exemplos de integração dupla. O teorema da média para integrais duplas.	Aula 08 – Sistema de coordenadas polares. Integral de funções em coordenadas polares.	Aula 09 – Mudança de variáveis nas integrais duplas.
Aula 10 – Integrais impróprias. Integrais triplas.	Aula 11 – Volumes de sólidos mediante integração tripla.	Aula 12 – Aula de exercícios.
Aula 13 – Aula de exercícios extra.	Aula 14– Mudança geral de variáveis em integrais triplas. Coordenadas cilíndricas e esféricas.	Aula 15 – Exercícios de integração tripla envolvendo mudança de coordenadas.
Aula 16 – Campos vetoriais. Conceito. Campo gradiente e função potencial. Rotacional e Divergência.	Aula 17 – Integrais de linha.	Aula 18 – independência da parametrização na integral de linha. Independência de caminho  – TFC para integrais de linha.
Aula 19 – caminhos simples e fechados. O Teorema de Green.	Aula 20 – área interior a uma curva, pelo T de Green. Curvas parametrizadas pelo comprimento de arco. Primeira extensão vetorial do Teorema de Green: o Teorema da divergência de Gauss.	Aula 21– Segunda extensão vetorial do Teorema de Green: o Teorema de Stokes no plano. Superfícies no R3. Parametrização de superfície.
Aula 22  – Exemplos de parametrizações. Plano tangente à uma superfície do R3.	Aula 23– Aula extra, de exercícios.	Aula 24 – Área de superfícies.
Aula 25 – Integral de superfície – conceito. Resolução de alguns exercícios da lista 06.	Aula 26 – Aula de exercícios.	Aula 27– Aula de exercícios, sobre a lista 07.

 

 

 

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Geometria Analítica (para a Matemática e Física)

Estudaremos nesta disciplina a Geometria Analítica plana e a tridimensional, passando pelo estudo de retas no R2, cônicas, vetores no plano e no espaço, produtos escalar, vetorial e misto, retas e planos no R³ e superfícies.

 

Plano de ensino

Uma cópia pdf do plano pode ser acessada clicando aqui.

Horário

Terças e quintas, no Prédio 05, sala 209. A partir das 8h.

 

Datas das provas

Prova 01: dia 27/07/23 – Gabarito

Prova 02: dia 21/09/23 – Gabarito

Exame: dia 03/10/23

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Vetores no plano.

Lista 02 – Retas e circunferências no plano.  Resoluções

Lista 03 – Elipse e hipérbole.

Lista 04 – Parábola. Rotação e translação de eixos coordenados.

Lista 05 – Vetores em R³. Produtos escalar, vetorial e misto.

Lista 06 – Retas e planos no espaço tridimensional.

Lista 07 – Coordenadas cilíndricas e esféricas. Cilindros e superfícies quádricas.

Lista 08 – Curvas em R³.

 

Arquivos pdf das aulas

• aula do dia 15/08/23 [produto misto, retas e planos no R³], acesso aqui
• aula do dia 17/08/23 [retas e planos], acesso aqui
• aula do dia 22/08/23 [distância entre ponto e plano, superfície esférica e sistema de coordenadas cilíndricas], acesso aqui
• aula do dia 24/08/23 [coordenadas esféricas. Resolução de questões da lista 05]. Acesso aqui
• aula do dia 29/08 [aula de exercícios sobre as listas 05 e 06]. Acesso aqui
• aula do dia 31/09 [cilindros e superfícies quádricas]. Acesso aqui
• aula do dia 05/09/23 [superfícies quádricas. Introdução às curvas no R3] acesso aqui
• aula do dia 12/09/23 [aula de exercícios]. Acesso aqui
• aula do dia 14/09/23 [aula de exercícios]. Acesso aqui
• aula do dia 19/09/23 [aula de exercícios- listas 08, 06 e 05]. Acesso aqui