Ano de 2025 de Nosso Senhor
𒁠𒁠𒁠 Primeiro semestre 𒁠𒁠𒁠
Variáveis Complexas
Nesta disciplina estudaremos as funções de uma variável complexa, percorrendo, assuntos como: Noções topológicas do plano complexo; Funções unívocas e plurívocas; Funções holomorfas, Sequências e séries numéricas e de potências, Série de Laurent e teoria dos resíduos.
Plano de ensino
Uma cópia pdf do Plano de ensino pode ser baixada clicando aqui.
Datas das Provas
Prova 01: dia 13/06/25
Prova 02: dia 22/08/25
Exame: dia 29/08/25
Lista de exercícios
- Lista 01 – Números complexos na forma algébrica.
- Lista 02 – Projeção estereográfica. Números complexos na forma trigonométrica.
- Lista 03 – Topologia no plano complexo.
- Lista 04 – Sequências em C.
- Lista 05 – Séries numéricas em C.
- Lista 06 – Funções de uma variável complexa.
- Lista 07 – Limite e continuidade de funções complexas.
- Lista 08 – Derivação complexa.
- Lista 09 – Integração em C.
Extras/resoluções
- Video contendo a resolução de algumas questões da lista 01, acesso aqui . Atentamos apenas que, como este vídeo foi feito durante a pandemia, a numeração do enunciados pode estar diferente.
- Resolução de os exercícios da lista 02, sobre a projeção estereográfica, clique aqui
- Vídeo contendo a resolução de algumas questões da Lista 03, acesso aqui Atentamos apenas que, como este vídeo foi feito durante a pandemia, a numeração do enunciados pode estar diferente.
- Vídeo contendo a resolução de algumas questões da Lista 04, acesso aqui Atentamos apenas que, como este vídeo foi feito durante a pandemia, a numeração do enunciados pode estar diferente.
- Enunciado e gabarito de uma prova antiga, de 2010, acesso aqui.
- Resolução de alguns exercícios das listas 03,04 e 05, feitas no dia 02/06/25, acesso aqui.
- Vídeo de 2020, comentando um pouco mais sobre ramos. Acesso aqui.
- Video apresentado a resolução de algumas questões da Lista 06. Acesso aqui
Arquivos pdf das aulas
Aula 01 (23/04/25) Números complexos como um corpo. Propriedades aritméticas. Potências de i. Imersão de R em C. Forma algébrica e unidade imaginária. Conjugado e propriedades. Módulo e representação no plano complexo.
Aula 02 (25/04/25) Propriedades do módulo. A projeção estereográfica e o plano complexo extendido.
Aula 03 (30/04/25) Forma trigonométrica. Produto e quociente nessa forma. Fórmulas de De Moivre.
Aula 04 (07/05/25) Topologia em C: o conjunto dos números complexos como um espaço métrico. Vizinhança e vizinhança perfurada. Ponto interior de um conjunto. Fechados e abertos de C. Porto de acumulação de um conjunto e o derivado. Conjunto conexo.
Aula 05 (09/05/25) Relação entre fechado e aberto de C. Compactos de C e o teorema de Borel-Lebesgue.
Aula 06 (14/05/25) Fronteira de um conjunto. Sequências em C. Limite de sequência. Sequência limitada. Propriedades aritméticas das sequências.
Aula 07 (21/05/25) Subsequência. Ponto aderente a uma sequência e a um conjunto. O Teorema de Bolzano-Weierstrass. Fecho de um conjunto. Limite infinito.
Aula 08 (23/05/25) Sequência de Cauchy. Séries complexas numéricas. Principais resultados. Convergência absoluta. Testes da comparação e da razão.
Aula 09 (28/05/25) Funções de uma variável complexa. Funções unívocas e plurivocas. A função exponencial complexa.
Aula 10 (30/05/25) Propriedades da função exponencial. Representação na forma polar. Funções trigonométricas complexas seno e cosseno.
Aula 11 (04/06/25) Funções hiperbólicas complexas. A função Logarítmica complexa.
Aula 12 (06/06/25) propriedades da função logarítmica complexa. A função potência. Funções trigonométricas inversas.
Aula 13 (11/06/25) Aula de exercícios.
Aula 14 (18/06/25) Limite e continuidade de funções complexas.
Aula 15 (25/06/25) Derivação em C. Funções holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann.
Aula 16 (27/06/25) Regras de derivação complexa. Conceito de função inteira. O teorema da regra da cadeia.
Aula 17 (02/07/25) Curvas no plano complexo.
Aula 18 (04/07/25) Integrais curvilíneas. TFC.
Aula 19 (09/07/25) Integrais curvilíneas, parte 2. Teorema da primitiva.
Aula 20 (11/07/25) Teorema de Cauchy-Goursat para regiões conexas e multiplamente conexas.
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Cálculo II (Matemática diurno)
Dando continuidade ao estudo de Cálculo de funções de uma variável real estudaremos neste segundo curso de Cálculo o conceito de integral definida e o processo inverso à derivação, chamado de antiderivação, ou integração indefinida. O importante Teorema Fundamental do Cálculo, que faz a conexão entre este Cálculo e o anterior será estudado. Daremos ênfase a algumas aplicações da integral definida.
Plano de Ensino
Uma cópia pdf do plano pode ser baixada clicando aqui.
Datas das Provas
Prova 01: dia 13/06/25
Prova 02: dia 22/08/25
Exame: dia 29/08/25
Extras
- Vídeo ilustrando as aproximações por falta e por excesso, da área de uma região do plano, via somas de Riemann (extraído do Facebook, do grupo Math is Visual ). Acesso aqui.
Listas de Exercícios
- Lista 01 – Integral definida: primeiros conceitos.
- Lista 02 – O Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais imediatas.
- Lista 03 – Constante de integração. Integrais imediatas.
- Lista 04 – Integrais envolvendo completamento de quadrado e substituição trigonométrica. Integração por partes.
- Lista 05 – Integrais de potências de seno e cosseno. Integrais por decomposição em frações parciais.
Arquivos das aulas
Aula 01 (23/04/25) Conjuntos limitados. Ínfimo e supremo de um conjunto. Funções limitadas. Partição de um intervalo e propriedades. Somas inferior e superior. Integrais inferior e superior.
Aula 02 (25/04/25) Função integrável. Um primeiro critério de integrabilidade. Exemplo de integração pela definição.
Aula 03 (30/04/25) outros exemplos de integração pela definição. Oscilação de uma função. Critério de Darboux. Propriedades da integral definida.
Aula 04 (07/05/25) Resolução de exercícios da List.a 01.
Aula 05 (09/05/25) Função de Lipschitz. Resolução de exercícios da lista 01.
Aula 06 (14/05/25) Função definida a partir da sua integral. O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), no primeiro formato e no segundo formato. Exemplos.
Aula 07 (21/05/25) Demonstração do TFC. Antiderivada. Primeiras regras de integração indefinida.
Aula 08 (23/05/25) Outras regras de integração indefinida.
Aula 09 (28/05/25) Formulas que envolvem v^2+-a^2. Completamento de quadrado perfeito para integrais da forma 1/(ax^2+bx+c).
Aula 10 (30/05/25) Integrais da forma (px + q)/(ax2+bx+c) e (px +q)/sqrt(ax2+bx+c).
Aula 11 (04/06/25) Integrais por substituição trigonométrica. Integração por partes.
Aula 12 ( 06/12/25) Aula de exercícios.
Aula 13 (11/06/25) Aula de exercícios, sobre a Lista 04.
Aula 13 (18/06/25) Aula de exercícios da Lista 04.
Aula 14 (27/06/25) Integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Integrais por decomposição em frações parciais, caso 01.
Aula 15 (02/07/25) Casos 2 e 3 da decomposição em frações parciais.
Aula 16 (04/07/25) Caso 4 de decomposição em frações parciais.
Aula 17 (09/07/25) Exercício sobre decomposição em frações parciais. Integrais trigonométricas via troca universal.
Aula 18 ( 11/07/25) integrais de funções da forma R(x^1/n).
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Funções Transcendentes (Matemática Noturno)
Nesta disciplina estudaremos as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas diretas e inversas, funções extremamente importantes no Cálculo e na Matemática em geral.
Plano de ensino
Uma cópia em pdf do plano de ensino pode ser baixada clicando aqui.
Datas das provas
Prova 01: dia 25/06/25 – Gabarito
Prova 02: dia 20/08/25
Exame: dia 27/08/25
Listas de Exercícios
- Lista 01 – Exponenciais e logaritmos.
- Lista 02 – Trigonometria no triângulo retângulo. Arcos e ângulos. Ciclo trigonométrico.
- Lista 03 – Números trigonométricos.
- Lista 04 – Fórmulas da Trigonometria. Triângulo quaisquer.
Extras
- zero elevado à zero, quanto é? Vídeo do IMPA. Acesso aqui.
- Resoluções de questões da Lista 01, acesso aqui
- Resoluções de exercícios da Lista 02, acesso aqui
- Resoluções de exercícios da Lista 03, acesso aqui
Arquivos pdf das aulas
Aula 01 (30/04/25) Apresentação da disciplina. Função exponencial. Conceito e propriedade de crescimento e de crescimento. Gráficos. Equação exponencial.
Aula 02 (07/05/25) equação e inequação exponencial. Logaritmos. Definição e exemplos. Propriedades dos logaritmos.
Aula 03 (14/05/25) Mudança de base de logaritmos. Equação logarítmica. Inequação logarítmica. Função logarítmica.
Aula 04 (21/05/25) Meia-vida de material radioativo. Injetividade, sobrejetividade e bijetividade de funções. Funções inversas. As funções exponencial e logarítmica como inversas uma da outra.
Aula 05 (28/05/25) Trigonometria, primeiros conceitos. Arcos e ângulos. Trigonometria no triângulo retângulo.
Aula 06 (04/06/25) Ciclo trigonométrico. Arcos no ciclo. Arcos côngruos, expressão geral e menor determinação. Seno, cosseno e tangente no ciclo. Arcos notáveis.
Aula 07 (11/06/25) Redução ao primeiro quadrante. Cotangente, secante e cossecante no ciclo trigonométrico. Fórmulas envolvendo esses números trigonométricos. Redução ao primeiro quadrante destes.
Aula 08 (18/06/25) seno e cosseno da adição e subtração de arcos. Resolução de exercícios das listas 02 e 03.
Aula 09 (02/07/25) Formulas da trigonometria, de arcos duplos, arcos metade e da prostaferese.
Aula 10 (09/07/25) Triângulos quaisquer, A função seno.