MMXXII

 

MMXXII Anno Domini

SEMESTER PRIMVS(in MMXXIII)

(in veritas, hic est MMXXII secundum semester)

Cálculo III ( para a Matemática)

Vamos estudar nesta disciplina os conceitos e resultados sobre sequências e séries, numéricas e de funções, bem como suas propriedades para decidir convergência ou divergência. Estudaremos também o cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais, percorrendo tópicos de limite, continuidade, noções topológicas do Rn e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Plano de ensino

O plano de ensino pode ser acessado clicando aqui.

Horário

Aulas nas quartas e sextas, a  partir das 10h, no Prédio 05, sala 208 do Campus Capão do Leão.

 

Datas das provas

Prova 01 – 17/03/23 – Gabarito

Prova 02 – 12/05/23 – Gabarito

Exame – 17/05/23

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Sequências numéricas

Lista 02 – Séries numéricas

Lista 03 – Sequências e séries de funções. Séries de Taylor.

Lista 04 – Noções de Topologia

Lista 05 – Funções de várias variáveis reais

Lista 06 – Limite e continuidade

Lista 07 – Derivadas de funções vetoriais. Comprimento de arco

Lista 08 – Derivação parcial

Lista 09 – Diferenciabilidade. Regra da Cadeia. Derivada direcional.

 

Extras

  • Vídeo mostrando a dinâmica das convergências de sequências definidas recursivamente, incluindo o caso que não expliquei na aula e que comentei que estaria no vídeo. Ei-lo.
  • Vídeo apresentando uma análise de convergência/divergência de algumas série numéricas, usando os primeiros teste estudados em aula, pode ser acessado clicando aqui. (em 14/02/23)
  • Arquivo pdf da aula do dia 01/03/23, que foi dada em formato online no dia 02/03/23, pode ser acessado clicando aqui.
  • Arquvo pdf do atendimento do dia 09/03/23, versando sobre questões das listas 01 e 02, acesso aqui.
  • Video (de um encontro síncrono de Análise Real) de resolução de exercícios de sequências numéricas. Acesso aqui.
  • Arquivo pdf da aula do dia 10/03/23, tratando sobre a série binomial. Acesso aqui
  • Resolução de questões das listas 01 e 03, feitas no dia 16/03, pelo e-aula. Acesso aqui.
  • Arquivo pdf da aula do dia 29/03/23, tratando do início do estudo de funções de várias variáveis reais pode ser acessado clicando aqui.
  • Arquivo pdf da aula do dia 31/03/23, segunda parte do estudo de funções de várias variáveis, onde introduzimos o conceito de limite de função. Acesso aqui
  • Arquivo pdf da aula do dia 05/04/23, tratando do estudo de limites de funções a várias variáveis, acesso aqui.
  • Teorema do sanduíche para funções de várias variáveis, acesso aqui .
  • Arquivo pdf da aula do dia 12/04/23, tratando de continuidade e limites acesso aqui.
  • Arquivo pdf da aula do dia 14/04/23, sobre derivadas de funções vetoriais, acesso aqui
  • Arquivo pdf da aula do dia 19/04/23, sobre comprimento de uma curva e derivadas parciais, acesse aqui .
  • Arquivo pdf da aula do dia 26/04, sobre o Teorema de Schwarz e a primeira parte sobre a diferenciabilidade no Rn. Acesso aqui .
  • Arquivo pdf da aula do dia 28/04/23, sobre a segunda parte do estudo de diferenciabilidade no Rn. Acesso aqui.
  • Resolução de questões da lista 05, acesso aqui
  • Arquivo pdf da aula do dia 03/05/23, sobre diferencial total e regra da Cadeia(parte 1], acesso aqui .
  • Resolução de exercícios das Listas 06, 07 e 08, feitos no atendimento pelo e-aula, em 04/05/23, acesso aqui.
  • Arquivo pdf da aula do dia 05/05, sobre a regra da cadeia (parte 2) e a derivada direcional. Acesso aqui .
  • Resolução de questões da Lista 09, acesso aqui
  • Exercícios resolvidos extras aqui (da aula do dia 10/05/23)
  • Dúvidas finais, discutidas no dia 11/05, acesso aqui.

 

 

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Álgebra linear e Geometria analítica (para a Química Industrial)

Estudaremos nesta disciplina a Geometria Analítica tridimensional, passando pelo estudo de vetores, produtos escalar, vetorial e misto, retas e planos no R3, o conceito de espaço vetorial e superfícies. Também apresentaremos conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial, Matrizes, sistemas lineares e determinantes. Em seguida, faremos um estudo de transformações lineares e autovalores e autovetores. Vamos procurar, também aplicações de muitos destes conceitos à Quimica.

Plano de ensino

O arquivo pdf do plano de ensino da disciplina pode ser acessado clicando aqui.

Horário

Aulas nas segundas, quartas e sextas, a partir das 8h, no prédio 05, sala 215, Campus Capão do Leão.

 

Datas das provas

Prova 01 –  06/03/23 – enunciado e gabarito aqui

Prova 02 – 14/04/23 – enunciado e gabarito aqui

Prova 03 – 12/05/23

Exame – 17/05/23

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Vetores no plano.

Lista 02 – Vetores em R3.

Lista de Aplicações A1 – Vetores

Lista 03 – Retas e planos no R3.

Lista 04 – Matrizes e aplicações.

Lista 05 – Matrizes invertíveis e sistemas lineares

Lista de aplicações A2 – matrizes e sistemas lineares

Lista 06 – Determinantes

Lista de aplicações A3 – Determinantes

Lista 07 – Espaços e subespaços vetoriais

Lista 08 – Vetores L.I. e L.D. Base e dimensão

Lista 09 – Mudança de base.

Lista 10 – Transformações lineares

Lista 11 – Autovalores e autovetores

Lista de aplicações A4 – Autovalores e autovetores

Lista 12 – Noções sobre cônicas e quádricas

 

Resoluções de exercícios

  • Resolução de duas questões da lista 02 e uma questão da lista de Aplicações A1, clique aqui. [atendimento online em 03/03/23]
  • Resolução de exercícios de várias lista, acesse clicando aqui [Obs.: conferir numeração pois esta resolução é de exercícios de semestre antigo, e algumas listassofreram alterações].
  • Resolução de exercícios das Listas 03 e 04, feitas no dia 04/03, acesse clicando aqui.
  • Resolução do exercício 05 da Lista A2, acesso aqui.
  • Solução da Lista 06, acesso aqui.
  • Solução da Lista 08, acesso aqui
  • Resolução de exercícios das Listas 09 e 10, acesso aqui (feito dia 09/05/23)

Extras

 

Vídeos de aulas

Aula 05 – Operações elementares inversas. Teoremas sobre equivalências. Algoritmo para obtenção da inversa de uma matriz (caso exista) via operações elementares sobre linhas. Aula 06 – Teoria de determinantes: Conceito. Determinante de uma matriz de ordem n. Aula 07 – Propriedades dos determinantes (Parte I)
Aula 08 – Propriedades dos determinantes – Parte II (o que acontece com o determinante de uma matriz ao efetuarmos uma operação elementar sobre linhas na matriz). Aula 09 – Matriz adjunta e o Teorema da Regra de Cramer. Aula 10 – Espaços vetoriais. Subespaços vetoriais.
Aula 11 – Outros exemplos e contra-exemplos de subespaços vetoriais. Interseção de subespaços. Soma de subespaços. Somas direta. Aula 12 – Combinação linear. Subespaço gerado. Vetores L.I. e vetores L.D. Base de um espaço vetorial. Aula 13 – Teoremas sobre bases. Dimensão de um espaço vetorial.
Aula 14 – Teorema do completamento. Teorema da dimensão. Unicidade da representação de um vetor de um espaço em relação a uma base. Aula 15 –  Mudança de base. Matriz da mudança de base. Aula 16 – Uma aplicação para mudança de base: rotação de eixos coordenados do R2.
Aula 17 – Transformações lineares. Primeiras propriedades das transformações. Aula 18 – Operações com transformações lineares. Aula 19 – Núcleo e Imagem de uma transformação linear.
Aula 20 – Teorema da dimensão. Isomorfismos. Aula 21 – Transformações lineares inversíveis.
Aula 23 – autovalores e Autovetores.

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SEMESTER PRIMVS MMXXII

 

Álgebra Linear I (diurno)

A álgebra linear é uma disciplina vital para a Matemática e a Física, visto que diversos elementos de sua teoria são fundamentais para compreensão de estudos futuros, sejam teóricos ou de aplicação. Por exemplo, usamos os conceitos de dependência e independência linear para montar soluções de certas equações diferenciais ordinárias. Também os conceitos de autovalores e autovetores são usados.  Para o cálculo de funções vetoriais e funções reais de variáveis reais precisamos de vários conceitos, tais como  de  espaços e subespaços vetoriais, determinantes, norma e produto interno. Álgebra linear também é importante para outras disciplinas mais especializadas, como, por exemplo, Análise Funcional.  Além disso, em vários processos de seleção para mestrado em Matemática incluem a álgebra linear em seu conteúdo, tais como  UFRGS, UFSM, USP,  UFRJ, UFBA, por exemplo.

Ementa:

Solução de sistemas lineares. Matrizes e Determinantes. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Matriz de uma transformação. Autovalores e autovetores.

Plano de Ensino:  Podes baixar clicando aqui.

Datas da Provas:

Prova 01: 06/10/22. Enunciado e gabarito aqui

Prova 02: 01/12/22. Enunciado e gabarito aqui

Exame: 08/12/22

 

Materiais de apoio

  • Para acessar um material pdf, bem desatualizado, das notas de aula, clique aqui. [você também pode acessar o livro online, através do sistema Pergamum da biblioteca, estando logado]
  • Calculadora de Matrizes, é um site onde se pode efetuar uma série de operações entre matrizes sistemas lineares e determinação de autovalores e autovetores.

Vídeos de aulas [gravadas para o ensino remoto]

  • Aula 1 – Conceito de matriz. Tipos de matrizes. Soma de matrizes. Produto de um escalar por uma matriz. Produto de matrizes.
  • Aula 2 – Propriedades aritméticas das matrizes. Matriz Transposta. Propriedades da matriz transposta.
  • Aula 3 – Matrizes invertíveis e propriedades. Potências de matrizes. Matriz na forma escalonada reduzida por linhas. Sistema linear: conceito.
  • Aula 4 – Resolução de sistemas lineares via operações elementares sobre linhas.Matriz elementar.
  • Aula 5 – Operações elementares inversas. Teoremas sobre equivalências. Algoritmo para obtenção da inversa de uma matriz (caso exista) via operações elementares sobre linhas.
  • Aula 6 – Teoria de determinantes: Conceito. Determinante de uma matriz de ordem n.
  • Aula 15 – Mudança de base. Matriz de mudança de base. [para quem faltou à aula do dia 11/10/22]
  • Aula 16 [extra] Uma aplicação para mudança de base: rotação de eixos coordenados do R2.
  • Aula 24 – Autovalores e autovetores de matrizes. Diagonalização.
  • Aula 25 [EXTRA] – Espaços com Produto Interno. Vetores ortogonais.
  • Aula 26 [EXTRA] – Norma em um espaço vetorial. Propriedades da norma.
  • Aula 27 [EXTRA] – Normas equivalentes. Vetores ortonormais. Ortogonal de um conjunto.
  • Aula 28 – Resolução de alguns exercícios das listas finais.

 

Listas de exercícios

Lista 01 – Matrizes

Lista 02 – Matrizes e sistemas lineares

Lista 03 – Matrizes invertíveis

Lista 04 – Determinantes

Lista 05 –  Espaços e subespaços vetoriais. Vetores L.I. e L.D. Base

Lista 06 – Base e dimensão

Lista 07 – Mudança de base

Lista 08 – Transformações lineares (Parte I)

Lista 09 –  Transformações lineares (Parte II)

Lista 10 – Transformações lineares (Parte III)

Lista 11 – Autovalores e autovetores

 

Resoluções das listas

Resp L1        Resp L2         Resp L3        Resp L4

Resp L7      Resp L8       Resp L9     Resp L10

 

Atendimentos online:

  • Arquivo pdf dos exercícios resolvidos das lista 01 e 02, feitos em 01/09 e 02/09, no e-aula, clique aqui.
  • Arquivo pdf dos exercícios da Lista 05 feitos no atendimento do dia 16/09, pelo-e-aula, clique aqui.
  • Arquivo pdf dos exercícios da Lista 05 feitos no atendimento do dia 01/10, pelo e-aula, clique aqui.

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Análise Real I (diurno)

A Análise é o estudo de processos infinitos, ou de limite, tais como derivadas e integrais. A Análise Real I é a disciplina que vai servir para formalizar e provar com rigor resultados estudados em Cálculo I, de conjuntos até continuidade.

 

Neste curso estudaremos os seguintes tópicos:

– Conjuntos e funções;

– Corpos e o corpo ordenado e completo dos números reais;

– Cardinalidade e enumerabilidade;

– Sequências numéricas;

– Topologia da reta;

– Limites de funções de uma variável real;

– Continuidade e continuidade uniforme. 

    Referências bibliográficas:

  • BARTLE, R.G.; SHERBERT, D. R. Introduction to real analysis. 3th ed. John Wiley & Sons, Inc., NY, 2000.
  • BOURCHTEIN, L; BOURCHTEIN, A. Análise real: funções de uma variável real. Ed. Ciência Moderna, RJ, 2010.
  • FIGUEIREDO, D.G. Análise I, 2a ed. Ed. LTC, SP, 1996.
  • LIMA, E.L. Curso de Análise, vol. I. Col. Proj. Euclides, IMPA, RJ.
  • RUDIN, W. Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill Inc, US, 1976.
  • WHITE,. A.J. Análise real: uma introdução. Ed. Edgard Blucher LTDA, SP, 1968.
  • ZAHN, M. Uma introdução aos cardinais de Cantor. Ed. Ciência Moderna, RJ, 2017 .
  • ZAHN, M. Análise Real. Ed. Edgard Blucher LTDA, SP, 2022. [livro principal]

Plano de ensino: Para baixardes o arquivo pdf do plano, clique aqui.

 

Datas das provas:

Prova 01: 12/09/22 – enunciado e gabarito aqui.

Prova 02: 04/11/22 – enunciado e gabarito aqui

Prova 03: 02/12/22 – enunciado aqui.

Exame: 07/12/22

 

Material de apoio

  • Para baixar o arquivo pdf de notas de aula [bem desatualizado, mesmo!], clique aqui.
  • Vídeo sobre a cardinalidade do conjunto R dos números reais. Vídeo desenvolvido pela Unicamp, sobre a cardinalidade do conjunto dos números reais
  • Hotel de Hilbert. Um interessante vídeo, desenvolvido pela Unicamp, sobre o paradoxo do hotel de Hilbert – conjuntos enumeráveis.
  • Aula do dia 17/10/22, onde tratamos o estudo de fronteira de um conjunto e ponto de acumulação. Clique aqui.
  • Aula do dia 09/11/22, sobre propriedades aritméticas dos limites de funções, feito no e-aula, acesso aqui.

 

Listas de Exercícios

Lista 01 – Conjuntos e funções

Lista 02 –  Corpos

Lista 03 – Cardinalidade e enumerabilidade

Lista 04 – Sequências

Lista 05 – Sequências ilimitadas. Sequências de Cauchy

Lista 06 – Espaços Métricos e Topologia da reta (Parte I)

Lista 07 – Topologia da reta (parte II)

Lista 08 – Limites de funções

Lista 09 – Limites laterais, infinitos e no infinito.

Lista 10 – Limites notáveis.

Lista 11 – Funções contínuas.

Lista 12 – Continuidade uniforme.

 

 

Resolução de exercícios

  • Resolução de questões da Lista 01. Observo que numerações das questões podem estar trocadas, visto que modifiquei listas de um semestre para outro.
  • Duas questões da lista 02, estão resolvidas aqui. [foi no atendimento online em 02/09/22]
  • Outras resoluções da lista 02, acesse aqui.
  • Resolução de algumas questões da Lista 03, feitas no e-aula, acesso aqui.
  • Outras Respostas de questões ainda da lista 03, acesso aqui.
  • Resolução de exercícios da Lista 04, clique aqui.
  • Arquivo pdf de dois exercícios da Lista 05, feitos no atendimento online do dia 28/10, acesse aqui.
  • Resolução de questões da Lista 05, clique aqui.
  • Resolução de questões da Lista 06, clique aqui.
  • Resolução de questões da Lista 07, clique aqui.
  • Resolução de questões da Lista 08, clique aqui.
  • Resolução de questões da Lista 09, clique aqui.
  • Vídeo onde resolvi duas questões da lista 11, clique aqui.
  • Resolução de uma questão de cada uma das listas 09, 10 e 11, feitas na aula do dia 28/11, clique aqui. [pelo e-aula]

 

Vídeos de aulas [gravadas para o ensino remoto]

 

Aula 05 – Corpos: conceito e propriedades. Exemplos e contra-exemplos de corpos.

Aula 06 – Corpos ordenados. Relação de ordem e propriedades. Cópia de N em um corpo ordenado K. Intervalos em um corpo ordenado.

Aula 07 – Módulo em um corpo ordenado e suas propriedades.

Aula 08 – Conjuntos limitados em um corpo ordenado. Corpo arquimediano. Ínfimo e supremo de um conjunto.

Aula 09 – Insuficiência do corpo dos racionais. Conceito de completude em um corpo ordenado. O corpo ordenado e completo R dos números reais. Densidade dos racionais em R.

Aula 30 – Funções contínuas.