MMXX – Formato online

MMXX – SEMESTER PRIMVM (pela segunda vez)

 

Variáveis Complexas

Plano de Ensino

IMPORTANTE:

Acompanhamento da disciplina, informes, dúvidas, etc.: através do sistema e-aula da UFPel.

Também, teremos uma página do Facebook, que pode ser acessada, clicando aqui.

Aulas gravadas: Serão liberadas no Youtube 

                                                                                      Aulas:

SEMANA I

Aula 1.1: Apresentação do curso. Números complexos como um corpo. Unidade imaginária e suas potências. Forma algébrica. Imersão de R em C.

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Aula 1.2: Conjugação e propriedades. Operações em C.

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Aula 1.3: Módulo de um número complexo e propriedades.

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Aula 2.1: Projeção estereográfica – Parte I.

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Aula 2.2: Projeção estereográfica – Parte II.

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Aula 2.3: Forma trigonométrica de um número complexo e operações.

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SEMANA II

Aula 3.1: Fórmula de De Moivre.

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Aula 3.1: Topologia em C – Parte I

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Aula 3.3: Topologia em C – Parte II

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Aula 4.1: Topologia em C – Parte III

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SEMANA III

Aula 4.2: Sequências em C, Parte I

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Aula 4.3: Sequência em C, Parte II

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Aula 5.1: Sequências em C, Parte III

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Aula 5.2: Séries complexas – Parte I

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Aula 5.3: Séries complexas – Parte II

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SEMANA IV

Aula 6.1: Funções de variável complexa – primeiros conceitos.

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Aula 6.2: Funções trigonométricas complexas e hiperbólicas complexas.
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Aula 6.3:  Funções Complexas, Parte 3 [Função Log e seus ramos]
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Aula 6.4: Um pouco mais sobre ramos de funções plurívocas.
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Aula 7.1: Propriedades do Log complexo. Funções trigonométricas complexas inversas. Ramos.
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Aula 7.2: Limite de funções complexas. Continuidade de funções Complexas.

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Aula 7.3: Derivação complexa. Funções holomorfas – Parte I.

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Aula 8.1: Derivação em C, Parte II (exemplos de aplicação das Eq. de Cauchy-Riemann, regras de derivação em C, regra da Cadeia).

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Aula 8.2: Derivação em C, parte III. Transformações básicas.

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Aula 8.3: Curvas no plano complexo.

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Aula 9.1: Integrais curvilíneas.

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Aulas 9.2 e 9.3: Teorema da Primitiva.

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Aula 9.4: Teorema de Cauchy Goursat para regiões multiplamente conexas.

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Aula 10.1: Teorema da fórmula integral de Cauchy.

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Aula 10.2: Derivação sob o símbolo de integração(Fórmula geral de Cauchy). Desigualdade de Cauchy.

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Aula 11.1: Teoremas integrais (T. de Morera, T. de Liouville, T. Fund. da Álgebra)

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Aula 11.2: Princípio do módulo máximo.

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Aula 12.1: Sequências de funções complexas. Convergência simples e uniforme. Teorema do critério de Cauchy uniforme.
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Aula 12.2: Séries de funções complexas, Parte I (conceito, convergências simples, uniforme e absoluta, Teste M de Weiertrass, função zeta de Riemann, continuidade da soma de uma série uniformemente convergente)

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Aula 13.1: Séries de funções, Parte II (derivação termo a termo [de qualquer ordem] e integração termo a termo de uma série uniformemente convergente).

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Aula 13.2: Séries de funções, Parte III – Séries de potências, Parte I (conceito, raio de convergência e disco de Convergência. Teorema de convergência. Fórmula de Cauchy-Hadamard).

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SEMANA X (de 30/11 a 05/12)

Aula 14.1: Séries de funções, Parte IV – Séries de potências, parte II – Série de Taylor.

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Aula 14.2: Séries de Funções, Parte V (Produto e quociente de séries de potências).

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Aulas 15.1+15.2: Séries de funções – Parte VI – Séries de Laurent.

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SEMANA XI

Aula 16.1+16.2: Zeros e singularidades.

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Aulas 17.1+17.2: Resíduos e Teorema dos resíduos.

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Aulas 18.1+18.2:  Aplicações do teorema dos Resíduos: integrais reais trigonométricas e integrais impróprias.

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SEMANA XII

Aulas 19.1+19.2: Integrais impróprias usando resíduos – Parte II

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Aulas 20.1+20.2 [Final do curso] Aula final do curso: Aplicações do Teorema dos Resíduos – integrais impróprias envolvendo funções plurívocas.

 

Listas

• Lista I (das aulas 1.1,1.2 e 1.3)  Resolução de alguns exercícios da Lista I
• Lista II (das aulas 2.1, 2.2 e 2.3)
• Lista III (das aulas 3.1 até 4.1)  Resolução Lista III
• Lista IV (das aulas 4.2, 4.3 e 5.1) Resolução Lista IV
• Lista V (das aulas 5.2 e 5.3)
• Lista VI (das aulas 6.1 a 6.4 e 7.1) Resolução Lista VI
• Lista VII (da aula 7.2)
• Lista VIII (das aulas 7.3, 8.1 e 8.2)
• Lista IX (das aulas 8.3, 9.1 a 9.4). Respostas de alguns exercícios da Lista IX  aqui.
• Lista X (das aulas 10.1 a 11.2). Respostas de alguns exercícios da Lista X aqui.

 

 

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Análise Real

Acompanhamento da disciplina, informes, dúvidas, etc.: através do sistema e-aula da UFPel.

Plano de ensino

Aulas gravadas: Serão liberadas no Youtube. 

A Análise é o estudo de processos infinitos, ou de limite, tais como derivadas e integrais. A Análise Real I é a disciplina que vai servir para formalizar e provar com rigor resultados estudados em Cálculo I, de conjuntos até continuidade.

Neste curso estudaremos os seguintes tópicos:

– Conjuntos e funções;

– Corpos e o corpo ordenado e completo dos números reais;

– Cardinalidade e enumerabilidade;

– Sequências numéricas;

– Topologia da reta;

– Limites de funções de uma variável real;

– Continuidade e continuidade uniforme.

O plano de ensino pode ser acessado clicando aqui.

Avaliação.

Serão feitas de duas a três avaliações no semestre, sendo que cada uma delas se dividirá em:

• uma prova P que será feita em casa;
• média M1 de exercícios propostos para entregar;
• média M2 referente a provas orais realizadas durante os atendimentos síncronos.

Dessa forma, a nota N de cada uma das avaliações será definida por

N = (6*P + 3*M1 + M2)/10

Datas das Provas:

Prova 01: deverá ser entregue a resolução no dia 11/11/20  [será liberada um ou dois dias antes]

Prova 02: deverá ser entregue a resolução no dia 23/12/20  [será liberada um ou dois dias antes]

Exame: 06/01/21

Referências bibliográficas:

Sei que neste período pandêmico é complicado ter acesso a livros. No entanto, caso consigam, algumas boas referências são as seguintes:

 

 

Material extra/de apoio:

 

∆  Artigo Sobre o ensino da Análise.

∆ Artigo “O que é um conjunto?“.

∆ Livro “do Cálculo à Análise“.

∆ Para baixar um livro em pdf, clique aqui.

∆ Para baixar o arquivo pdf das notas de aula do curso de 2018, clique  aqui (está bem desatualizado, mas pode ajudar os estudos)

∆ clique aqui para acessar uma prova de que a cardinalidade do conjunto de Cantor é o contínuo c.

  AULAS SEMANAIS

SEMANA I

Aula 01 – Apresentação do curso. Conjuntos: relações de pertinência e contenção. Conjunto das partes de um conjunto, operações.

Aula 02 – Conjuntos, Parte II (diferença simétrica e famílias de conjuntos)

Aula 03 – Funções – Parte I (conceito. Imagem direta de um conjunto por uma função. Imagem inversa de um conjunto por uma função. Composição de funções)

Aula 04 – Injetividade, sobrejetividade, bijetividade. Inversas à esquerda e à direita. Função inversa.

 SEMANA II

Aula 05 –  Corpos: conceito e propriedades. Exemplos e contra-exemplos de corpos.

Aula 06 – Corpos ordenados. Relação de ordem e propriedades. Cópia de N em um corpo ordenado K. Intervalos em um corpo ordenado.

Aula 07 – Módulo em um corpo ordenado e suas propriedades.

Aula 08 – Conjuntos limitados em um corpo ordenado. Corpo arquimediano. Ínfimo e supremo de um conjunto.

SEMANA III

Aula 09 – Insuficiência do corpo dos racionais. Conceito de completude em um corpo ordenado. O corpo ordenado e completo R dos números reais. Densidade dos racionais em R.

Aula 10 – Conjuntos equivalentes. Cardinalidade de conjuntos. Teorema de Cantor-Bernstein.

Aula 11 – Conjuntos enumeráveis e primeiros teoremas sobre enumerabilidade.

Aula 12 – Enumerabilidade de Q. Não enumerabilidade de R. O continuum c. Outras propriedades de enumerabilidade.

SEMANA IV

Aula 13 – Soma de cardinais. Notas históricas: um pouco sobre George Cantor.

Aula 14 – Sequências de números reais. Limite de sequência. Sequência limitada.

Aula15 – Propriedades dos limites de sequências reais.

SEMANA V (de 26/10 a 31/10)

Aula 16 – Sequências monótonas. Irracionalidade do número de Euler.

Aula 17 – Dinâmica das convergências: sequências definidas recursivamente.

Aula 18 – Limites infinitos. Teorema dos intervalos fechados encaixados. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Aula 19 – Sequências de Cauchy.

SEMANA VI (de 02/11 a 07/11)

Aula 20 – Pontos aderentes de sequências. Limites superior e inferior.

Aula 21 – R como um espaço métrico. Ponto interior. Interior de um conjunto.

SEMANA VII (de 09/11 a 14/11)

Aula 22 – Abertos de R e propriedades. Ponto aderente de um conjunto. Fecho de um conjunto.Conjuntos fechados.

SEMANA VIII (de16/11 a 21/11)

Aula 23 – Propriedades dos fechados de R. Fronteira de um conjunto.

Aula 24 – Ponto de Acumulação de um conjunto. Derivado de um conjunto e propriedades do derivado.

Aula 25 – Compactos de R. Teorema de Heine-Borel.

SEMANA IX (de 23/11 a 28/11)

Aula 26 – Limites de funções: Definição, exemplos e primeiras propriedades.

Aula 27 – Teorema do Sanduíche. Limite segundo Heine. Propriedades aritméticas dos limites de funções.

Aula 28 – Outras propriedades dos limites. Limites laterais.

SEMANA X (de 30/11 a 05/12)

Aula 29 – Limites infinitos. Limites no infinito. Limite trigonométrico Fundamental. Limite exponencial fundamental.

Aula 30 – funções contínuas.

Aula 31 – Exemplos de funções contínuas e descontínuas.

SEMANA XI (de 07 a 12/12)

Aula 32 – Funções contínuas em intervalos (Teorema do valor intermediário. Teorema de Weierstrass).

Aula 33 (aula final)  Continuidade uniforme. Funções de Lipschitz.