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Início do conteúdo
Cálculo Numérico

Cálculo Numérico

Curso/semestre Licenciatura em Matemática / Sétimo
Disciplina Cálculo Numérico
Caráter ACA – Obrigatório
Pré-requisito Programação em Softwares de Matemática(0100255) e Cálculo III (0100018)
Código 0100260
Depto. DME
CHT 68 horas
Créditos 04

Natureza

Ano/sem

34 teóricas / 34 práticas

 

Prof. Resp.
Objetivos

Habilitar o estudante para a compreensão e utilização de métodos

numéricos básicos necessários à resolução de problemas técnicos, que podem ser modelados matematicamente.

 

Ementa

Cálculo numérico de Raízes de Equações Algébricas e Transcendentes. Resolução numérica de Sistemas de Equações Lineares. Aproximação de Função Interpolação Polinomial e Método dos Mínimos Quadrados. Resolução Numérica de Integrais. Resolução Numérica de Equações Diferenciais.

 

Programa

Aritmética de Máquina e a Condição de um Problema

Condição de um Problema

Condição de um Algoritmo

Instabilidade de Problemas e Algoritmos (breve discussão)

 

Resolução Numérica de Equações Algébricas e Transcendentes

Introdução ( sobre os tipos de Métodos Iterativos e Algoritmo geral de implementação)

Enumeração, Localização e Isolamento de raízes

Estimadores de Exatidão

Ordem de Convergência

Métodos de Quebra

Método da Bisseção

Método da Falsa Posição

Métodos de Ponto Fixo

Método Iterativo Linear

Método de Newton-Raphson

Método de Schröder

Métodos de Múltiplos Passos

Método da Secante

Método de Müller

Aceleração da Convergência

Comparação dos Métodos

Estudo especial sobre Equações Polinomiais

Propriedades

Método de Newton-Raphson para polinômios

 

Resolução de Sistemas de Equações Lineares e Não-lineares

Introdução

Normas de Matrizes

Erros na Resolução de Sistemas Lineares

Condicionamento de Sistemas Lineares e Instabilidade

Métodos Diretos

Eliminação Gaussiana

Fatoração (Decomposição) LU

Fatoração de Cholesky

Fatoração QR

Métodos Iterativos

Teorema de Cauchy

Interpretação geométrica de equação e soluções

Método de isóclinas

Tipos particulares das equações e métodos da sua resolução: equações de variáveis separáveis, equações homogêneas, equações lineares, equações de diferenciais exatas e redutíveis a essas

Aplicações aos problemas físicos e geométricos

Sistemas Não-lineares

Método de Newton

Método de Newton Modificado

Métodos Quase-Newton

 

Interpolação

Introdução ( sobre os tipos de interpolação)

Interpolação Polinomial

Polinômio Interpolador

Forma de Lagrange do Polinômio Interpolador

Forma de Newton do Polinômio Interpolador

Forma de Newton-Gregory do Polinômio Interpolador

Estudo do Erro na Interpolação

Grau do Polinômio Interpolador

Interpolação Inversa

Interpolação usando Splines

– Introdução sobre Funções Spline

– Spline Linear Interpolante

– Spline Cúbica Interpolante

Comentário sobre Aproximação de Funções

 

Ajuste de Funções

Introdução (sobre o critério de ajuste)

Método dos Quadrados Mínimos

Caso Discreto

Caso Contínuo

Caso Não-linear nos Parâmetros

Ajuste com Polinômios Ortogonais

Análise Harmônica (Aproximação de Fourier)

 

Diferenciação e Integração Numérica

Diferenciação

Diferenciação com Polinômio Interpolador na Forma de Newton

Erros de Truncamento

Outras Fórmulas de Diferenciação Numérica

Comentários sobre a Instabilidade da Diferenciação Numérica

Integração

Introdução (sobre os objetivos e metodologias de Integração)

Fórmulas de Newton-Cotes   Fórmulas de Gauss

Método de Romberg

Comentários sobre a comparação dos métodos

 

Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução (sobre a terminologia de EDO)

Problemas de Valor Inicial

Métodos de Passo Simples

Métodos de Passo Múltiplo

Métodos de Previsão-Correção

Equações de Ordem Superior

Problemas de Valor de Contorno- Método das Diferenças Finitas.

 

Bibliografia

Básica

BARROSO, L. et alii. Cálculo Numérico. São Paulo,   Haper & Row do Brasil, 1987.

CLÁUDIO, Dalcídio M. M. & MARINS, Jussara M., Cálculo Numérico   Computacional Teoria e Prática. São Paulo, Atlas, 1989.

DEMIDOVICH, B. P. & MARON, I. A. Computational Mathematics. English Translation. Mir Publishers, 1987.

DORN, W. S. & McCRACKEN, D. D. Cálculo Numérico com estudos de casos em FORTRAN IV.     E. Campus, 1978.

 

Complementar

FORSYTHE, G. E.   MALCOM, M. A & MOLER, C. B. Computer Methods for   Mathematical Computations. New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1977.

HAMMING, R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Graw-Hill Book Company, Inc. 1962.

HILDEBRAND, F. J.   Introduction to Numerical Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc. 1956.

HUMES, A. F. P. C. et alii. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1984.

MATHEWS, J. H. Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering. Second Edition. Prentice Hall International, 1992.

RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. ed. São Paulo, Makron Books do Brasil,1996.

SCHEID, Francis. Análise Numérica. 2. ed. Lisboa, McGraw- Hill de Portugal, 1991.

VALENÇA, Maria Raquel. Métodos Numéricos. Lisboa, Instituto Nacional de Investigação Científica, 1988.