Conhecer noções básicas sobre a generalização de conceitos e resultados da Análise Real, que se apoiam em propriedades dos números reais relacionadas ao conceito de distância. Perceber a ampliação dos conceitos abordados em analogia aos já vistos em Análise Real e estabelecer conexões existentes entre eles.

Habilitar o estudante para a compreensão de conceitos e resultados básicos sobre:

– Espaços Métricos;

– Convergência em espaços métricos;

– Continuidade em espaços métricos.

Referências e Terminologia

– Produto Cartesiano, Relações e Funções;

– Conjunto de Índices, Uniões, Interseções e Produtos   Cartesianos arbitrários;

– Conjunto Finito, Infinito, Enumerável e Não-enumerável;

– Relações de Equivalência e de Ordem;

– Números Reais e Noções Topológicas na Reta;

– Espaços Vetoriais (conceito e exemplos).

Métrica e Espaço Métrico

– Definições e Exemplos;

= Métrica, Espaço Métrico, Subespaço e Métrica Induzida;

= Exemplos: Espaços Euclidianos, Espaços Normados, de Funções Limitadas, etc.

– Distâncias e Diâmetro de um Conjunto;

– Isometria, Pseudométrica;

= Noções Topológicas em Espaços Métricos:

= Bola Aberta, Bola Fechada e Vizinhança (exemplos e propriedades);

= Ponto Interior, Conjunto Aberto, Conjunto Fechado;

= Ponto Aderente, Ponto de Acumulação;

= Espaço Métrico como Espaço Topológico.

Sequências:

– Definição, Subsequência, Sequência convergente;

– Exemplos;

– Noções Topológicas e Limites.

Funções Contínuas

– Definição e Exemplos;

– Noções Topológicas, Sequências e continuidade;

– Álgebra das Funções Contínuas;

– Homeomorfismo;

– Continuidade Uniforme;

– Continuidade das Transformações Lineares;

– Métricas e Normas Equivalentes.

Básica

DOMINGUES, Hygino H. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. São Paulo, Atual, 1982.

LIMA, Elon L. Elementos de Topologia Geral.   2. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1976. (Instituto de Matemática Pura a Aplicada- IMPA, Col. Elementos de Matemática).

_____. Espaços Métricos. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada-IMPA, CNPq, Livros Técnicos e Científicos, 1977. (Projeto Euclides).

Complementar

D’AMBROSIO, Ubiratan. Métodos da Topologia: introdução e aplicação. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1977.

HÖNIG, Chaim S. Aplicações da Topologia à Análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada- IMPA, CNPq, Edgard Blücher, 1976. ( Projeto Euclides ).

LIPSCHUTZ, S. Topologia Geral: resumo da Teoria. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1973.