Estudar conceito dos números complexos e operações com eles

Desenvolver conceitos de função de uma variável complexa, de limite e continuidade dessa função

Introduzir e estudar conceitos de diferenciabilidade e regularidade de funções de uma variável complexa; mostrar diferença estes em comparação com os de funções reais

Estudar propriedades principais de funções complexas diferenciáveis

Desenvolver noções de pontos singulares e resíduos

Estudar desenvolvimento de funções regulares em anel em série de Laurent

Aplicar teorema de resíduos para cálculo de integrais

Introdução.

– Números complexos e operações com eles.

– Projeção estereográfica dos números complexos.

– Conjuntos e curvas no plano complexo.

– Funções de uma variável complexa.

– Funções dependentes de parâmetro.

– Séries funcionais; séries de potências.

– Integral de função complexa; integrais dependentes de um parâmetro.

Funções regulares e suas propriedades.

– Funções diferenciáveis e regulares.

– Teorema de Cauchy; teorema de Goursat.

– Fórmula integral de Cauchy; critério principal de regularidade.

– Diferenciabilidade infinita de função regular.

– Funções harmônicas e harmônicas conjugadas.

– Primitiva de função regular.

– Condições de regularidade.

– Princípio de unicidade de função regular.

– Conceito de prolongamento analítico de função em região.

– Conceito de função analítica multivalente; superfície de Riemann.

Pontos singulares, série de Laurent e resíduos.

– Ponto singular na fronteira de círculo de convergência.

– Condição suficiente de ponto singular de fronteira.

– Desenvolvimento de função em série de Laurent.

– Classificação de pontos singulares: pontos singulares removíveis, polos, pontos singulares essenciais.

– Conceito de resíduo; teorema principal de resíduos.

– Cálculo de resíduos. Aplicação do teorema de resíduos nas integrais impróprias.

– Lema de Jordan.

– Tipos principais de integrais calculadas através de resíduos.

Básica

Ávila, Geraldo. Variáveis Complexas e aplicações. 3ª Ed., Editora LTC, RJ, 2008.

Churchill R.V. Variáveis complexas e suas aplicações

Medeiros, José Luis Adauto da Justa. Introdução às Variáveis Complexas. Ed. McGraw -Hill

Shokranian, Salahoddin. Variável Complexa 1. Ed. Da UnB, 2002.

Complementar

Silverman, Richard A. Complex Analysis with applications. Prentice Hall, Inc, 1974.

Colwell P., Matheus C. Introdução às variáveis complexas

Spiegel M.R. Variáveis complexas. Coleção Schaum