Geral

Aprofundar o estudo de teoria de números reais e de funções de uma variável real

Específicos

Representar a teoria dos números reais e conjuntos numéricos

Estudar as principais propriedades topológicas dos subconjuntos da reta

Estudar vários tipos de limites e suas propriedades principais

Introduzir funções infinitesimais e estudar suas propriedades

Estudar classes de funções contínuas

Estudar propriedades globais de funções contínuas

Introduzir conceito de continuidade uniforme

Números e conjuntos reais, principais propriedades topológicas de conjuntos na reta. Teoria de limites: limites de funções e seqüências e suas propriedades, funções infinitesimais, lema de Bolzano-Weirstrass. Continuidade: conceito e propriedades básicas, continuidade de funções elementares e monótonas, classificação de descontinuidades, propriedades globais de funções continuas, continuidade uniforme.

Números reais: Elementos de teoria de conjuntos

Números racionais e suas propriedades

Conceito de número real. Ordenação de conjunto dos números reais

Lemas principais

Conjuntos limitados e não limitados. Teorema sobre cota superior exata (supremo)

Conceito de conjunto, de transformação, de número cardinal

Conjuntos enumeráveis

Conjuntos não-enumeráveis. Comparação de conjuntos

Teoria de limites

-. Conceito de função, conceito de seqüência. Funções elementares

-. Limite de sequência

-. Definição de limite de uma função

-. Propriedades de limites

-. Funções infinitesimais e suas propriedades

-. Limite de soma, produto e quociente

-. Primeiro limite notável

-. Limite de sequência monótona, limite de função monótona.

-. Lema dos intervalos encaixados

-. Limite de subseqüência. Lema de Bolzano-Weierstrass

– Segundo limite notável

– Critério de convergência de Cauchy

– Conceito de limite superior e inferior

– Classificação de funções infinitesimais

Funções contínuas

– Conceito de função contínua num ponto e num conjunto

– Continuidade de funções monótonas

– Continuidade de funções elementares

– Continuidade de funções compostas

— Classificação de descontinuidades

– Propriedades de função contínua num intervalo (teoremas de Bolzano-Cauchy)

-. Descontinuidades de funções monótonas

-. Conjuntos abertos e fechados

-. Conjuntos compactos. Críterio de conjunto compacto

-. Propriedades de funções contínuas em conjuntos compactos. Teoremas de Weierstrass

– Continuidade uniforme. Teorema de Cantor

Básica

Lima E.L. Curso de análise. Vol.1. Coleção Projeto Euclides, IMPA, RJ.

Figueiredo D. Análise I. LTC.

Almay P. Elementos de cálculo diferencial e integral. Vol. 1,2.

Rudin W. Principles of mathematical analysis.

Complementar

Kolmogorov A.N., Fomin V.S. Introductory real analysis.

Ilyin, Pozniak. Fundamentals of real analysis. Vol.1.