Arquivos de 2020

A evolução epidêmica do COVID-19 – Modelo SIR

Este documento tem por objetivo explicar o modelo e os parâmetros utilizados pelos pesquisadores do GDISPEN para a modelagem matemática do COVID-19. O documento será constantemente atualizado e incrementado. A pesquisa “A EVOLUÇÃO EPIDÊMICA DO COVID-19 – MODELO SIR” está sob a responsabilidade dos doutores Daniela Buske,  Glênio Aguiar Gonçalves e Régis Sperotto de Quadros, do Laboratório do Grupo de Dispersão de Poluentes & Engenharia Nuclear (GDISPEN). Os pesquisadores do GDISPEN são docentes do DME / IFM / PPGMMat  / UFPel– Pelotas / RS / Brasil.

Este estudo tem finalidade puramente acadêmica e científica, mostrando a grande aplicabilidade da modelagem matemática em problemas reais. As discussões, opiniões, idéias e publicações geradas a partir dos resultados do modelo utilizado são de autoria dos respectivos autores, e não necessariamente representam aquelas das instituições a que estes pertencem.

Os pesquisadores utilizaram inicialmente o modelo epidemiológico SIR (Suscetível-Infectado-Recuperado) (McKendrick e Kermack, 1927, 1932, 1933, republicados em 1991). Este modelo simples, porém, considerado robusto para modelar epidemias como o COVID-19, é bem conhecido na literatura e mostra a evolução de uma população suscetível S, infectada I e recuperada R. O modelo SIR tem sido amplamente utilizado para modelar o COVID-19. O conjunto de equações mais simples do modelo SIR é dada por:

onde β e γ são positivos, sendo β a taxa de infecção e γ  a taxa de recuperação dos indivíduos, e N = S + I + R é o total da população. O código computacional foi desenvolvido em linguagem SCILAB.

  • Suscetíveis: indivíduos ainda não expostos e que podem adquirir a infecção.
  • Infectados: indivíduos infectados, doentes ou não, que podem transmitir para outras pessoas.
  • Recuperados/Removidos: indivíduos que se infectaram e se recuperaram, adquirindo imunidade; ou os que morreram em decorrência da doença.

Um modelo matemático se apoia em premissas e hipóteses sobre o fenômeno estudado, no qual são inseridas informações de parâmetros. Inicialmente os parâmetros são estimados com base no conhecimento acumulado em epidemias anteriores ou, da própria epidemia e do seu desenvolvimento em outros locais. No decorrer da epidemia os parâmetros vão sendo melhor definidos e os modelos tornam-se mais robustos, uma vez que o conhecimento e a característica da epidemia ficam mais claros.

No modelo SIR temos dois parâmetros importantes: a taxa de transmissão β (para quantas pessoas, em média, um indivíduo infectado pode transmitir a doença) e a taxa de recuperação γ. Neste modelo, considera-se que indivíduos já infectados não podem ser infectados novamente.

Medidas de distanciamento social e de conscientização da população acerca dos sintomas do Covid-19 aumentam as chances de que as pessoas permaneçam em suas casas, reduzindo a exposição, independente de terem sintomas. Também aumentam as chances de que pessoas com sintomas respiratórios evitem transitar nas ruas, mantendo-se em auto quarentena, evitando a transmissão para outras pessoas. Uma observação importante é que as medidas de isolamento ou restrições não são observadas imediatamente no número de casos, pois existe uma defasagem entre o momento da infecção e o aparecimento de sintomas (período de incubação). O tempo de incubação do COVID-19 é de 5 a 14 dias (tendo referências que citam 5 a 18 e 5 a 21 dias).

Na literatura encontram-se três cenários, considerando um período distinto em que indivíduos infectados se mantêm em circulação, podendo transmitir o vírus para pessoas suscetíveis, em função das medidas de distanciamento social: 5, 14 e 21 dias. Resultados apontam que as medidas de distanciamento social têm como consequência não apenas a diminuição do número total de casos, mas, principalmente, do número de casos ativos. Isto diminui a pressão sobre os serviços de saúde e é conhecido como fenômeno de “achatamento da curva”.

Nas simulações da expansão da Epidemia no Brasil, considerou-se um período de infecção de 5.2 dias (taxa de recuperação γ = 1/5.2), uma vez que restrições quanto à circulação, como fechamento de universidades e escolas iniciaram a ser tomadas em torno do dia 16 de março em diversos Estados.

A reprodutibilidade basal é medida pelo parâmetro R0 (taxa de reprodução) e significa o número médio de pessoas que são infectadas por um único indivíduo, R0=β/γ. Segundo publicação recente do Imperial College e de outras fontes da literatura, este valor varia entre 2 e 4 (2.6 a 3.5), no caso do COVID-19. Este valor se modifica ao longo do desenvolvimento da epidemia. Se R0 < 1, então o número de infectados será decrescente e a epidemia se erradicará. No caso em que R0 > 1 a epidemia persistirá na população. Conhecendo R0 e γ podemos encontrar a taxa de infecção β.

  • Para o Brasil considerou-se R1 = 3.2 até 8 dias depois do caso 50, R2=2.08 de 9 a 18 dias, R3 = 1.72 de 19 a 30 dias e R4 = 1.4 para o restante dos dias.
  • Para o RS considerou-se R1= 2.5 até 8 dias depois do caso 50, R2=1.42 de 9 a 21 dias, R3 = 1.18 de 22 a 35 dias e R4 = 1.30 para o restante dos dias (no gráfico temos um exemplo de como seria o crescimento da curva, se fosse mantido o R0 de cada período)
  • Para Porto Alegre considerou-se R1= 1.67 até 9 dias depois do caso 50, R2=1.17 de 10 a 23 dias, R3 = 1.08 para o restante dos dias.

Os dados confirmados da epidemia são disponibilizados online. Neste trabalho são utilizados os dados disponibilizados pela Universidade John Hopkins (EUA), pela Organização Mundial de Saúde (OMS), secretarias estaduais, a Wikipedia e Ministério da Saúde do Brasil. Os dados confirmados da epidemia são comparados com o modelo matemático SIR.

Em uma entrevista para a rede americana CNN no dia 29 de março, o infectologista Anthony Fauci, um dos mais respeitados do mundo, declarou que a pandemia é um “alvo em movimento”. Assim, pequenas mudanças nos números divulgados pelas autoridades, ou nos parâmetros utilizados no modelo epidemiológico, irão causar grandes variações no número de infectados no futuro. Lembrando que a tendência estimada da curva pode ser alterada conforme as ações implementadas pelo governo.

*arquivo atualizado em 22.05.2020

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Sites utilizados para visualização de dados e acompanhamento da epidemia:

 

Modelagem Matemática do COVID-19: Atualização de 06.04.2020

Resumo da epidemia:

  • no mundo: Dados confirmados: 1.347.000; Total de óbitos: 74.600; Total de recuperados: 277.000
  • no Brasil: Dados confirmados: 12.058; Total de óbitos: 553
  • no RS: Dados confirmados: 481; Total de óbitos: 7
  • em Porto Alegre / RS: Dados confirmados: 257; Total de óbitos: 5

Na figura apresentam-se três gráficos da evolução do COVID-19 para o Brasil, Rio Grande do Sul e Porto Alegre. As predições foram calculadas a partir dos dados reais atualizados. A tendência estimada pode ser alterada conforme as ações implementadas. No modelo, manteve-se os mesmos parâmetros utilizados na publicação do dia 02 de abril.

Para o Brasil, dentro de 5 dias este número chegará a aproximadamente 23.000 infectados.

 

  • Para o RS, dentro de 5 dias este número chegará a aproximadamente 780 infectados.
  • Para a capital do RS, POA, dentro de 5 dias este número chegará a aproximadamente 445 infectados.

Detalhes da pesquisa no site do laboratório GDISPEN (https://wp.ufpel.edu.br/fentransporte/) e no Facebook do mestrado em Modelagem Matemática da UFPel (https://www.facebook.com/modelagemmatematica.ufpel.1).

 

Responsáveis: Daniela Buske, Glênio Aguiar Gonçalves e Régis Sperotto de Quadros

Laboratório GDISPEN (Grupo de Dispersão de Poluentes & Engenharia Nuclear), Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática (PPGMMat), Universidade Federal de Pelotas (UFPel).

Modelagem Matemática do COVID-19: Atualização de 02.04.2020

Para o dia de hoje apresenta-se uma atualização dos números e de parte dos gráficos já postados pelos pesquisadores do GDISPEN.

Resumo da epidemia no mundo: Dados confirmados: 1.011.000; Total de óbitos: 53.000; Total de recuperados: 210.000

Resumo da epidemia no Brasil: Dados confirmados: 7910; Total de óbitos: 299

Resumo da epidemia no RS: Dados confirmados: 334; Total de óbitos: 5

No primeiro gráfico temos os dados reais da epidemia para os países com o maior número de infectados, incluindo o Brasil. Pelo zoom, percebe-se que o Brasil neste momento está com padrão de crescimento similar ao Reino Unido, e chegou no ponto em que os EUA tiveram crescimento mais acentuado.

Na sequência seguem gráficos da evolução do COVID-19, a contar do caso 50, para os Estados Unidos (EUA), Espanha, Brasil e Rio Grande do Sul.  Pequenas mudanças nos números divulgados pelas autoridades, ou nos parâmetros utilizados no modelo epidemiológico, irão causar grandes variações no número de infectados no futuro. Assim sendo, esta previsão pode ter uma variação para mais ou para menos no número estimado.  Cabe ressaltar que as predições foram calculadas a partir dos dados reais atualizados. A tendência estimada pode ser alterada conforme as ações implementadas.

  • Para os EUA, considerou-se uma população de 333.5 milhões de habitantes*, taxa básica de reprodução da doença R0=2.7 e R1=2. (após 33 dias). Hoje os EUA têm 242.000 infectados. Se a previsão estiver correta, em 1 semana este número chegará a aproximadamente 600.000 infectados.
  • Para a Espanha, considerou-se uma população de 45.7 milhões de habitantes*, taxa básica de reprodução da doença R0=2.9, R1=1.9 (após 20 dias) e R2=1.45 (após 30 dias). Hoje a Espanha tem 112.000 infectados. Se a previsão estiver correta, em 1 semana este número chegará a aproximadamente 180.000 infectados.

  • Para o Brasil, considerou-se uma população de 217 milhões de habitantes*, taxa básica de reprodução da doença R0=1.78. Hoje tem-se 7.910 infectados. Se a previsão estiver correta, e os dados reais seguirem crescendo na taxa atual, dentro de 6 dias este número chegará a aproximadamente 18.000 infectados.
  • Para o RS, considerou-se uma população de 11.4 milhões de habitantes*, taxa básica de reprodução da doença R0=2.1 e R1=1.5 (após 9 dias). Hoje tem-se 334 infectados. Se a previsão estiver correta, e os dados reais seguirem crescendo na taxa atual, dentro de 6 dias este número chegará a aproximadamente 600 infectados.

Para o Brasil tivemos no dia de hoje 59 óbitos, totalizando 299 mortes. Apresenta-se uma estimativa, utilizando os dados acumulados, até o dia 7 de abril, quando se estima atingir em torno de 600 óbitos.

* Fonte: https://countrymeters.info

Responsáveis: Daniela Buske, Glênio Aguiar Gonçalves e Régis Sperotto de Quadros

Laboratório GDISPEN (Grupo de Dispersão de Poluentes & Engenharia Nuclear), Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática (PPGMMat), Universidade Federal de Pelotas (UFPel).

Pesquisadores da UFPel desenvolvem modelagem da evolução temporal do coronavírus

Os pesquisadores do laboratório GDISPEN (Grupo de Dispersão de Poluentes & Engenharia Nuclear) da Universidade Federal de Pelotas (UFPel), Daniela Buske, Glênio Aguiar Gonçalves e Régis Sperotto de Quadros, preocupados com a evolução do coronavírus no Brasil, publicarão diariamente (ou em dias alternados de acordo com os dados disponíveis) gráficos das curvas da evolução temporal do COVID-19. Para tanto estão sendo utilizados dados da Universidade John Hopkins (EUA), da Wikipedia e do Ministério da Saúde do Brasil. Os dados reais são comparados com uma combinação de modelos matemáticos para epidemias, conhecidos na literatura como modelo SIR e t-norma do mínimo. Serão apresentadas simulações para diversos países, para o Brasil e seus estados, dando ênfase para o estado do Rio Grande do Sul e para a cidade de Pelotas. Este estudo tem objetivo puramente acadêmico e científico, mostrando a grande aplicabilidade da modelagem matemática em problemas reais.


Os docentes do GDISPEN são professores do Departamento de Matemática e Estatística (DME) do Instituto de Física e Matemática (IFM) da UFPel. Os três pesquisadores são doutores e participam do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática (PPGMMat) e a Dra. Daniela Buske também participa do Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais (PPGCAmb) e é bolsista de produtividade do CNPQ.
Salientamos que este estudo tem objetivo puramente acadêmico e científico, mostrando a grande aplicabilidade da modelagem matemática em problemas reais.
As atualizações podem ser acompanhadas através das redes sociais (facebook: facebook.com/modelagemmatematica.ufpel.1, Instagram:@ppgmmat) e pelo site da Universidade Federal de Pelotas.

Seguem abaixo os links das atualizações publicadas no site da UFPEL e outros, anteriores a esta publicação:

1.http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/18/pesquisadores-da-ufpel-desenvolvem-modelagem-da-evolucao-temporal-do-coronavirus/

2. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/18/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-18-03-2020/

3. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/19/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-19-03-2020/

4. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/21/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-20-03-2020/

5. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/23/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-22-03-2020/

6. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/23/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-23-03-2020/

7. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/25/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-24-03-2020/

8. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/26/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-25-03-2020/

9. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/27/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-26-03-2020/

10. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/03/31/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-30-03-2020/

11. http://ccs2.ufpel.edu.br/wp/2020/04/01/grafico-da-evolucao-temporal-do-coronavirus-atualizacao-de-31-03-2020/